Líneas transversales a dos líneas y tangentes a un cuadriculado

Frank Sottile y Thorsten Theobald.

La siguiente imagen muestra el sobre de las líneas (en luz azul-verde) que son perpendiculares a la línea roja (y por lo tanto, transversal a la línea y-z en el infinito) y también tangente a la oro esfera a la derecha. La curva de tangencia está dibujada en azul.

Estamos interesados en otras cuadrículas (ceros de polinomios cuadráticos) que también son tangentes a cada línea en este envolvente. Por ejemplo, el
elipsoide de coral a la izquierda es tangente a cada línea del sobre. De hecho, estos dos elipsoides se unen en una familia de elipsoides, cada uno de los cuales es tangente a cada línea de esta familia. A medida que los miembros de esta familia se acercan a la línea roja, adquieren cada vez más forma de cigarro y finalmente colapsan en la línea. (Un fenómeno similar ocurre en el infinito).

Uno puede preguntar qué otras cuadrículas (si las hay) están allí además de aquellas en esta familia que son tangentes a cada línea en este sobre. Usamos álgebra computarizada para investigar esto, y encontramos que el locus de cuadrículas tangente a esta envoltura es unidimensional y consta de 12 componentes, cada uno de ellos con una curva racional suave. De estos 12, 8 consisten en cónicas imaginarias, mientras que 4 familias consisten en cuadrículas reales.

Cada boceto en miniatura a continuación ilustra una cuadrícula en cada familia, junto con una de estas cuadrículas originales, como referencia. Cada uno de ellos está vinculado a imágenes más grandes. La hoja de arce debajo de cada imagen se vincula con el código de Maple utilizado para dibujarlas.

 

 

 

 


Imágenes creadas mientras Sottile y Theobald visitaban DIMACS.
Este material se basa en el trabajo respaldado por la National Science Foundation bajo la Concesión No. 0070494.
Modificado por última vez el 16 de marzo de 2001 por Frank Sottile

 

Fuente: http://www.math.tamu.edu/~sottile/research/stories/2l2s/index.html